单利与复利

单利收益率与复利收益率，无疑是最多投资者容易搞混的收益率情况。明白两者的区别，同时知晓复利的巨大魔力，是开始正确投资的必经之路。

所谓单利收益率，即其年收益率尽在最终结算时体现，而不会在投资过程中产生累加作用。银行存款利率便是最常见单利收益率。以目前定期存款五年期5.13厘的利率为例，这就意味着你目前存入100元后，至五年到期后将按照每年5.13％的收益率帮你结算，即你的利息收入是100×5.13％×5＝25.65元，即你届时连本带息可取回125.65元。目前除了银行存款外，部分到期连本带息一次性返还的国债亦是采取单利收益率。

与单利收益率不同，复利收益率意味着每年你获得的投资收益都将在下一年中通过再投资同时获得收益，假设你同样是100元进行投资，5年可以获得5％的复利回报，那么届时你的100元可增值至127.63元(100×1.05⁵)。可别小看这125.65元与127.63元的差别，若以足够长的时间，两者将会发生显著的区别–若收益率进一步提高，则差距将更为明显。

假设还是100元，5％收益率，若时间跨度增加至40年，单利收益率届时100元变为300元，若复利收益率则变为704元；若收益率增加至8％，单利100元变为420元，而复利则变为2172.45元，这就是复利收益率的魔力所在。

到期收益率是假设收益率

在前两期我们讨论了债券收益率的计算，尤其谈到了债券到期收益率的计算方法。当然，这里需要强调的是，由于债券存在每年派息，因此其计算的到期收益率其实只是一个假设收益率–其假设你每次收到的派息都能以同样的收益率进行再投资，从而在长期实现的累计收益率。

但问题就在于，债券市场同样起起伏伏，同一个债券的收益率可能变化甚大，在你每年收到派息的时候，几乎不可能以当初买入时的收益率进行再投资，若债券市场低迷，你可以以更高的收益率再投资，那么长期获得的实际收益率将高于当初计算的到期收益率，但是若恰好遇上债券大牛市，当时的收益率非常低，那么你再投资的收益就会相应降低，从而使实际收益率无法达到当初计算的到期收益率。

正因此，每一个债券投资者都当明白到期收益率的计算，更多只是一种辅助，绝非届时你能够获得的实际收益率的保证，这两者之间存在的差距，就是再投资的风险。目前市场上按照票面利率来看，可以分为两类：一类是有着很高的票面利率，债券市价接近票面价格，收益主要来自派息；二类则是票面收益率极低，但是债券市价较票面价格有相当大的折让，收益主要来自买入价与到期返还本金之间的资本增值。由于第一类涉及到的派息数量比较大，因此具有较高的再投资风险，其到期收益率的数值也相对更不可靠。所以两个债券若其他条件都类似，到期收益率也一致，那么选择票面利率较低的债券可以规避更多的再投资风险，使计算的到期收益率更为牢靠。

股票要看总回报收益率

谈及股票市场的收益率，一般最常见的便是用上证指数或者沪深300指数作为标杆，直接计算一下过去数年的回报，然后再年化就得到年收益率的数据了。

其实，这样的处理虽然简单，但却不够全面。固然，股票价格上涨带来的资本增值是投资收益的重要来源，但是股票的派息收入同样是不可忽视的一块–尤其在股息率相对较高的成熟市场。正因此，大凡成熟的市场指数，除了最常用反映股价变化的核心指数外，还会推出考虑派息再投资后的总回报指数，从而使投资者清晰的看到股息再投资的巨大威力所在。

以美国标准普尔500指数为例，其1980年至2008年9月30日的年化收益率为8.6246％，而考虑股息再投资的标准普尔500总回报指数年化收益率则为11.7643％，后者比前者高出3.1397％，可别小看这每年3％多一点的额外回报，常年累计之下在复利的魔力之下，就会有巨大的差别，前者的累计总回报不过是980.56％，而后者却是2353.86％，比前者翻倍还多，可见股息收益率多么不容忽视。

目前内地的指数公司也推出了主要指数的总回报指数，不过我们内地称为全收益指数。以沪深300为例，其价格指数11月11日报收1781.36点，而沪深300全收益指数则报收1844.89点，较前者高出3.57％，这便是过去数年来A股股息及再投资产生的额外收益。

当然，总回报收益率也存在其问题。第一，其没有考虑到股息税造成的侵蚀，会高估再投资产生的收益率。对此问题，标准普尔指数公司又再总回报指数的基础上推出了净总回报指数，按照税收扣除后的股息再投资来计算收益率，显然对普通投资者就更具参考意义，不过内地似乎尚未有类似指数推出；第二，实际操作过程中再投资存在损耗。如你持有100股股价为10元的股票，至年末此股票每股税后派息0.5元，你100股总计获得50元股息，但由于目前A股规定最小交易单位为100股，即你至少需要1000元才能再次买入1手此股票，这就意味着你收到的这50元股息实际上无法进行再投资，因此你无法获得理论上的总回报收益率。对此问题，目前唯一的解决方案就是借助于基金，后者除了红利分红外也提供红利再投资的选项，可以完完全全将所有红利转化为新的基金份额，避免再投资中的损耗问题。

• 美债真实收益率不再可靠 (0) ---December 3, 2008
• 收益率，如何分析才到位 (0) ---November 29, 2008

从4.17%到2.03%

　　美国国债市场，对于美国经济至关重要。不仅在于大多数长期借贷利率往往由对应年限的国债收益率来决定，而且国债收益率的变动，亦是投资者信心和对经济预期的一个重要反应。正因此，美国国债收益率这个重要数据是由美国财政部官方计算并发布的。

　　在美国的国债体系中，除了传统的国债之外，还有一种被成为通胀保护国债(TIPS)的品种，其票面本金并非固定为100美元，而是每年根据上一年的CPI数据进行调整，从而使的相应债券的持有人可以抵抗通胀风险，获得购买力的保护。

　　正因其有这个特性，所以相关品种的收益率被称为真实收益率，而传统国债品种的收益率则被称为名义收益率。一般而言，真实收益率被视为对美国资金成本更精确的衡量，而真实收益率和名义收益率的差值则被视为市场对于通胀预期的反应。

　　令市场出乎意料的是，12月1日财政部公布的5年期TIPS债券的真实收益率为2.03厘，较11月28日的4.17厘整整大跌214个基点，如此几近腰斩的大跌实属罕见。而5年真实收益率较名义收益率的溢价亦由11月底的2.24厘重挫至12月1日的0.38厘。

都是算法惹得祸

　　虽然美国财政部公布的真实收益率数据大跌，但是不少交易品种的报价却未能反映出如此变动。哈弗大学经济学教授Greg Mankiw在进行了一番研究后指出，真实收益率的大跌都是美国财政部算法惹得祸。

　　在美国财政部公布12月真实收益率的页面上，有一条不起眼的脚注指出，从12月1日起仅使用最新发行的TIPS债券计算收益率，而不似以往使用市场上所有债券计算收益率。正是这个算法上的变动，直接导致了收益率的大跌。

　　问题究竟出在何处？TIPS债券的一大特点就是债券本金跟随CPI调整，在通胀时固然要往上调整，但是在通缩时亦会跟随往下调整，正因此前期美国国债的真实收益率始终高于名义收益率，核心原因就在于市场担心出现紧缩，所以必须更高的真实收益率来补偿潜在的本金下调。但是，TIPS的另一条重要条款规定，TIPS债券到期后偿还的本金不低于发行时的本金，这意味着对于那些较早发行票面本金已经大幅上调的TIPS债券一旦遇到通缩本金会被相应下调，此前上调越多，那么下调的空间越大；但是新近发行的TIPS本金却可以提供可观的通缩保护，虽然在未到期前其本金亦会下调从而影响派息，但是到期后的本金却不得低于发行时，这无形中就提供了针对本金的通缩保护。有这样通缩保护的债券自然收益率相对较低——毕竟其需要补偿的通缩风险极为有限。而美国财政部只选取最新发行的TIPS债券计算收益率，无疑会造成偏差，因此Greg Mankiw认为依旧是传统的算法更具参考价值。

　　虽然美国财政部修改收益率算法的动机无从了解，但一个显示的结果就是：你想通过国债真实收益率和名义收益率的差值来了解市场对通胀或通缩的预期，不再是那么容易的事情了。

• 收益率如何比才正确 (0) ---March 20, 2009
• 收益率，如何分析才到位 (0) ---November 29, 2008

复合收益率是几何平均值

　　面对一个投资产品，有时候我们会获得的是每年的回报数 据，那么如何才能知晓在这段时间里面这个产品的年化收益率呢？“求平均值阿！”，这是不少初学者最直接的答案。

　　的确，求平均值是不错的答案，但并不等于所有的人都能计 算出正确的答案来。以上证指数为例吧，下表给出2005年迄今每年的当年回报数据(2008年截止11月24日)，读者不妨先自行计算一下年化收益率。

　　不知道您计算的答案与上表中哪一个收益率数字一致？如果 是和收益率2一致，那么恭喜你答对了，若是与收益率1一致，那么很不幸，你上当了，被“下跌的魔力”给误导了。

　　所谓“下跌的魔力”，即投资下跌百分比与回到原始位置的 对应涨幅是非对称的。如此说也许太抽象，举几个例子就明白了：如果你的投资亏损了25%，接下来要上涨多少才能弥补亏损？没错，33%；如果亏损了50%呢， 对的，100％；若亏损了75%呢，天呢，300%！是的，你的跌幅越大，那么你回本所需要的涨幅就以更快的速度增加，正因此，今年赚60%，明年再亏60%， 绝非不赔不赚，而是将亏损36%。

　　明白了“下跌的魔力”，再来看上表。收益率1这个错误的 答案是怎么得到的呢？很简单，将四年的当年回报率简单相加再除以四，这是我们平常计算平均值的标准做法。很可惜，这种被称为算数平均值的算法，并不适合于 计算收益率，因为其忽视了“下跌的魔力”，对2008年大跌的杀伤力估计过低。

　　那么，正确的收益率2这个数字是怎么计算出的呢？必须采 用一种名叫几何平均值的算法。首先我们必须利用上述四年的收益率数字算出这期间的累计回报情况，计算公式是：(1-8.33%)×(1+130.43%)×(1+96.66%)×(1-63.94%)=149.80%,即 这将近四年中的累计回报率为149.80%-1=49.80%，有了累计回报率，再计算年化回报率就好算了，只需要将其开四次方，即(149.80)^1/4-1=10.63%。 这种算法之所以被称为几何平均值，就在于其不同于算术平均值先做加法后做除法的规则，而是先做乘法后开根号，与几何中计算面积的方法较为类似。

标准差反映波动性

　　风险收益，显然风险和收益两者是密不可分的。不同投资的 风险高低，判断方法很多。当然最常见的一种就是基于标准差计算的。标准差是一个统计学概念，其反映的是每个数据相对算数平均值的离散程度，同时在基于正态 分布的假设下，还可以进行收益分布估计。

　　那么标准差怎么算呢？其实很简单，先计算一系列回报数据 的算术平均值，然后将每一个回报数据减去算术平均值后再进行平方处理，然后将这些平方后得到的数据累加后除以回报数据的总量，最后再开根号即可。举例说 明：现有三年回报数据，6%,10%,-10%，需要计算回报的标准差。

　　首先，我们计算算术平均值=(6%+10%-10%)÷3=2%， 接下来就是(6%-2%)²+(10%-2%)²+(-10%-2%)²=2.24%，再 接下来(2.24%÷3)^1/2=8.64%，这个8.64%就是我们最终得到的标准差值了。当然，若我们最后不进行开平方根处理，那么得到的值被称为方差，即方差＝标准差²。

　　比较不同回报序列的标准差值大小，我们可以知晓哪一个回 报序列的波动比较大，还可以利用平均值和标准差值进一步计算夏普指标等分析风险报酬比的进阶指标。

半方差更反映投资风险

　　在传统上，标准差是用来反映投资风险的一个重要指标。但是作为一个统计学上仅仅反映波动性的指标，标准差在反映投资风险上其实依然 有所偏颇。请看下表两个投资组合的历年回报率：

　　以你的直观感受，究竟是投资A还是投资B的风险大？我想不会有太多人认为在这四年中投资A的风险会大过投资B的吧，但是若按照标准 差衡量风险程度的方法，我们却会得出投资A的风险大过投资B的结论。

　　为何呢？其实标准差说到底只是反映各数值相对平均值的离散程度，虽然投资A每年都是相当客观的正回报，但因为其每年回报数据相对自 身平均值的离散程度的确比较大，所以得到的标准值数字也比较大，从而会让人觉得其风险较大——如果我们将波动视作一种风险，这样的结论不能算错，但显然这 并不是我们希望衡量的风险。

　　正因此，半方差(semivariance)的概念被提出，并用来更好的衡量投资真正的风险程度。最标准统计学上的半方差，基本算 法与前面的没有什么不同，唯一的区别并非将所有的值与平均值进行比较进一步计算，而仅仅是将那些低于平均值的值与平均值比较后进行计算，如此得出低于平均 值的回报相对平均值的离散程度。当然，半方差的算法还可以继续进行一些小变化，比如并不将其与平均值比较而是与特定数值(比如0)，我们就可以得出一个投 资低于特定投资水平部分数据的离散程度了——若利用这种算法去比较投资A和投资B，我们就会得出截然相反的结论，不会再有投资A风险大过投资B这样荒谬的 结论了。

• 收益率如何比才正确 (0) ---March 20, 2009
• 美债真实收益率不再可靠 (0) ---December 3, 2008